Identities and Inverses

Identities and Inverses

대수학의 또 다른 특징으로는 Identities(항등원)와 Inverses(역원)가 있다.

 

Identities

어떤 값 a와 연산 *이 있을 때, a에 * 연산을 한 결과가 그대로 a인 경우를 말한다.

 

$a * e = a\qquad$ e는 *에 대한 identities

 

ex) Additive Identities

$a+e = a$
$\rightarrow (a+e)-a = a - a$
$\rightarrow (e+a)-a=0\qquad \qquad$by commutativity
$\rightarrow e+(a-a)=0\qquad \qquad$by associativity
$\therefore e=0\qquad$임의 a의 덧셈에 대한 항등원은 0

 

ex) Multiplicative Identities

$a\times e = a$
$\rightarrow (a\times e)\times a^{-1} = a\times a^{-1},a\neq 0$
$\rightarrow (e\times a)\times a^{-1} = 1\qquad$by commutativity
$\rightarrow e\times(a\times a^{-1}) = 1\qquad$by associativity
$\therefore e = 1\qquad$임의 a의 덧셈에 대한 항등원은 1

 

Inverses

어떤 값 a와 연산 *에 대하여, a에 * 연산을 한 결과가 *에 대한 Identity인 경우를 말한다.

 

$a * x = e\qquad$x는 *에 대한 inverses

 

ex) Additive Inverses

$a+x = e$
$\rightarrow a+x = 0\qquad\qquad$by additive identities
$\rightarrow (a+x)-a = 0 - a$
$\rightarrow (x+a)-a=-a\qquad \qquad$by commutativity
$\rightarrow x+(a-a)=-a\qquad \qquad$by associativity
$\therefore x=-a\qquad$임의 a의 덧셈에 대한 역원은 -a

 

ex) Multipicative Inverses

$a\times x = e$
$\rightarrow a\times x = 1\qquad\qquad$by additive identities
$\rightarrow (a\times x)\times a^{-1} = 1\times a^{-1}, a\neq 0$
$\rightarrow (x\times a)\times a^{-1} = a^{-1}\qquad$by commutativity
$\rightarrow e\times(a\times a^{-1}) = a^{-1}\qquad$by associativity
$\therefore e = a^{-1}\qquad$임의 a의 곱셈에 대한 역원은 $a^{-1}$ ($a\neq 0$)

 

여기서 기억해야 할 점은, '역원은 존재하지 않을 수 있다'라는 점이다. 단적인 예로 0의 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않는다.