Algebraic Property

Algebraic Property

대수학(Algebra)에는 크게 세 가지 특징이 있다.

1. Commutative Property (=Law)
2. Associative Property
3. Distributive Property

각각에 대해서 살펴보자.

 

Commutative Property

교환 법칙이라고도 한다. 이름에서 알 수 있듯이, 연산자에 의해 피연산되는 객체의 위치가 서로 교환되어도 식이 성립하는지 여부에 관한 법칙으로, Commutative Property가 성립되는 연산자에 대해서는 피연산자의 위치가 서로 바뀌어도 같은 결과를 도출한다. 대표적으로 $+$, $\times$ 등이 있다.

 

교환 법칙을 만족하는 연산을 가환(commutative), 만족하지 않는 연산을 비가환(noncommutative, anti-commutative)라고 한다.

 

$$a + b = b + a$$

 

$$a \times b = b \times a$$

 

Associative Property

결합 법칙이라고도 한다. 괄호의 특수성과 함께 다루어지는 법칙으로, 선행되는 연산을 나타내는 괄호의 위치가 달라져도 연산 결과가 같다면 해당 법칙이 성립된다고 본다. 여기서 포인트는, 연산자가 서로 같아야 한다는 점이다.

 

이 법칙은 기본적으로 이항연산에서의 성질이지만 확장하여 연산이 3번 이상인 경우에도 성립이 가능하다. 결합 법칙이 성립되는 연산의 경우 연산의 순서를 지정해줄 필요가 없으므로 괄호를 제외하고 나타내기도 한다.

 

$$(x*y)*z=x*(y*z)\qquad \forall x,y,z\in S$$

 

Distributive Property

분배 법칙으로 불리는 이 법칙은 서로 다른 연산자 사이에서 'a 연산자에 대한 b 연산자의 분배 법칙'과 같은 방식으로 표현된다. 세부적으로는 좌분배법칙(left-distributive)과 우분배법칙(right-distributive)으로 나뉘며 이 둘 모두를 만족할 때 분배 법칙을 만족한다고 한다. 교환 법칙이 성립하는 연산에 대해서는 세 가지가 서로 동일하다.

 

대표적으로 '덧셈에 대한 곱셈의 분배 법칙'이 있다.

 

$$a \times (b + c) = (a \times b) + c$$