역행렬과 행렬식

역행렬과 행렬식

역행렬과 이의 존재 여부를 알 수 있는 행렬식은 선형 연립 방정식을 풀기 위해 매우 중요한 개념이다. 각각의 개념을 가볍게 알아보도록 하자.

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역행렬

어떤 행렬과 곱했을 때 항등 행렬이 나오는 행렬을 그 행렬의 역행렬(Inverse Matrix)이라고 한다. 행렬 $A$의 역행렬은 $A^{-1}$과 같이 표현하며, 행렬 $A$가 orthogonal matrix라면 $A^T=A^{-1}$이 성립한다. 행렬 곱의 역행렬은 다음과 같이 정의된다.

$$
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
$$

 

어떤 행렬의 역행렬은 존재할 수도 있고 하지 않을 수도 있으나 존재한다면 유일하게 존재한다. 이때 이 존재 여부는 행렬식을 계산함으로써 알 수 있다.

 

행렬식

행렬식(Determinant)은 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수이다. 행렬식의 절댓값은 해당 행렬이 나타내는 선형 변환이 원본 행렬을 확대 혹은 축소시키는 배수(Scaling factor)를 의미하며 행렬식의 부호는 방향의 보존 여부를 나타낸다.

 

 

행렬식은 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다.

 

$$
det(A) = \sum^n_{j=1} a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}
$$

 

어떤 행렬의 행렬식의 값이 0이면 해당 행렬은 역행렬을 갖지 않는다. 즉, 행렬식은 어떤 행렬의 역행렬 존재 여부에 대한 판별을 할 수 있게 한다.