Transposed / Symmetric / Diagonal Matrix

Transposed / Symmetric / Diagonal Matrix

행렬의 연산에서 가장 많이 등장하는 개념인 Transposed / Symmetric / Diagonal Matrix에 대해 개념과 성질을 가볍게 알아보자.

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Transposed Matrix

Transposed Matrix(전치 행렬)는 이름에서도 알 수 있듯이, 어떤 행렬에 Transpose(전치) 연산을 수행한 행렬이다. 여기서 전치 연산이란 행렬의 행과 열을 바꾸는 연산으로, $m\times n$ 행렬을 $n\times m$ 행렬로 바꾸게 된다.

 

곱 연산이 가능한 두 행렬 $A$, $B$에 대해 다음과 같은 성질이 성립한다.

• $(AB)^T = B^TA^T$
• (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} (이는 양변에 $A^T$를 곱함으로써 증명 가능하다)

 

Symmetric Matrix

Symmetric Matrix(대칭 행렬)는 어떤 행렬에 전치 연산을 했을 때 원본 행렬과 같은 행렬이 되는 행렬을 의미한다. 이 조건을 만족하기 위해서는 대각 성분을 기준으로 위아래 성분이 같아야 하며 행과 열 개수가 같은 정방 행렬이어야 한다.

 

대칭 행렬의 고윳값(eigenvalue)은 전부 실수이며 고유벡터(eigenvector)는 서로 orthogonal 하다. 단, 대칭 행렬 중 하나인 Identity Matrix(단위 행렬)의 경우 고윳값이 반복되며 이로 인해 고유벡터는 어떠한 벡터라도 가능해지므로 '고유벡터는 서로 orthogonal 한 벡터로 선택될 수 있다'가 대칭 행렬을 정의하는 정확한 표현이 된다.

 

Diagonal Matrix

Diagonal Matrix(대각 행렬)는 대각 성분 외에 모든 성분이 0인 행렬이다. 대각 행렬의 역행렬은 대각 성분의 역수를 취한 것이며 대각 행렬의 거듭제곱은 주대각 성분을 거듭제곱한 것이다. 이때 주대각 성분에 0이 포함되는 것은 가능하나, 이 경우 그 대각 행렬의 역행렬은 존재하지 않는다.