Low-pass / High-pass / Butterworth Filter
신호 처리는 머신러닝 및 딥러닝을 포함한 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 그중에서도 필터는 신호에서 원하지 않는 부분을 제거하거나 특정 부분을 추출하여 원하는 부분을 강조하거나 필요 없는 부분을 제거하는 등의 역할을 수행하는 중요한 도구이다. 이번 글에서는 다양한 필터들 중 대표적인 필터라고 볼 수 있는 Low Pass Filter, High Pass Filter, 그리고 Butterworth Filter에 대해 자세히 알아보겠다.
Low Pass Filter (저역 통과 필터)
Low Pass Filter는 이름에서 알 수 있듯이, 낮은 주파수 성분을 통과(Low pass)시키고 컷오프(cut-off) 주파수 이상의 높은 주파수 성분을 차단하는 필터이다. 주로 고주파 잡음을 제거하거나 신호를 부드럽게 만드는 데 사용되는 필터로, 오디오 신호 처리, 이미지 블러링, 데이터 스무딩 등에 사용된다.
$$ H(s) = {\omega_c \over s+ \omega_c}$$
위 식에서 $\omega_c$는 필터가 주파수를 나누는 기준이 되는 컷오프 주파수로, 이 주파수 이상에서는 신호가 감쇠된다. 이 함수를 주파수 영역으로 변환하면 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다.
$$ H(j\omega) = {\omega_c\over j\omega + \omega_c} $$
High Pass Filter (고역 통과 필터)
High Pass Filter는 LPF와 반대로, 높은 주파수 성분을 통과시키고 낮은 주파수 성분을 차단하는 필터이다. 주로 저주파 잡음을 제거하거나 특정 고주파 성분을 강조하는 데 사용된다. 이미지에 처리할 경우 급격한 기울기 변화로 높은 주파수를 갖는 선을 강조하는 효과가 있어 엣지 디텍션(Edge detection)에 이용할 수 있으며, 고주파 신호 추출, 진동 분석 등에도 유용하게 사용되는 필터이다.
$$ H(s) = {s \over s+ \omega_c}$$
이를 주파수 영역으로 변환하면 다음과 같다.
$$ H(j\omega) = {j\omega \over j\omega + \omega_c} $$
Butterworth Filter (버터워스 필터)
Butterworth Filter는 통과 대역 내에서 가능한 한 평탄한 주파수 응답을 갖도록 설계되어 주파수 응답이 매우 평탄한 필터이며 급격한 컷오프 특성을 가지고 있다. 이러한 특성 덕분에 이상적인 필터에 가깝게 설계할 수 있으며 '최대 평탄 통과 대역 필터'라고도 불린다. 이는 주로 오디오 및 통신 시스템에서 신호 왜곡을 최소화하기 위해 사용된다.
Butterworth Filter의 n차 전달 함수는 다음과 같다.
$$ H(s) = {1\over \sqrt{1+({s\over \omega_c})^{2n}}} $$
$$ |H(j\omega)|^2 = {1\over 1+({s\over \omega_c})^{2n}} $$
Butterworth 필터에서는 필터의 차수 n에 따라 필터의 성능과 특성이 달라질 수 있다. 차수가 높을수록 필터의 경계가 급격해지며, 이상적인 필터에 가까워진다. 예를 들어, n차 Butterworth 필터는 n이 증가할수록 주파수 응답의 경계가 날카로워진다.
이와 같이, Low Pass Filter, High Pass Filter, 그리고 Butterworth Filter는 신호 처리에서 필수적인 도구들이다. 각각의 필터는 고유의 특성과 용도를 가지고 있으며, 신호의 원하는 부분을 강조하거나 불필요한 부분을 제거하는 데 효과적으로 사용된다. 필터의 설계와 적용은 신호 처리의 핵심 기술 중 하나이며, 다양한 응용 분야에서 중요한 역할을 하므로 잘 알아둘 필요가 있다.
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