그래프 인과모델

그래프 인과모델

구조적 인과모델(Structural Causal Model, SCM)은 인과추론의 통일된 언어 표현이다. 이 SCM은 그래프와 인과 방정식(causal equation)으로 구성된다. 그중 그래프 모델은 인과추론 문제를 구조화하고 식별 가정을 시각화할 수 있는 기법이다. 이 그래프 모델에 대해서 알아보도록 하자.

 

인과관계 시각화

처치가 무작위 배정되는 상황, 즉 처치가 잠재적 결과와 독립적이며 인과관계와 상관관계가 교환가능한 상황을 생각해 보자.

 

$$E[Y_1-Y-0] = E[Y|T=1]-E[Y|T=0]$$

이러한 정보는 위 수식으로 나타낼 수도 있지만 그래프로 시각화할 수도 있다. 해당 과정에서 처치에는 랜덤화 노드를 추가하여 무작위 배정을 나타낼 수 있으며, 관측되지 않은 변수 또한 그래프에 나타낼 수 있다. 이때 관측되지 않은 변수는 모두 U 노드에 묶어서 표현한다. 여기선 그래프 시각화 라이브러리인 graphviz를 사용해서 나타내보도록 하겠다.

import graphviz as gr

g_cross_sell = gr.Digraph(graph_attr={'rankdir':'LR'})

g_cross_sell.edge('U','unwatched_var_1')
g_cross_sell.edge('U','unwatched_var_2')
g_cross_sell.edge('U','Result')

g_cross_sell.edge('Rand','Treatment')
g_cross_sell.edge('Treatment','Result')
g_cross_sell.edge('unwatched_var_1','Result')
g_cross_sell.edge('unwatched_var_2','Result')

g_cross_sell

 

그래프의 각 노드는 확률변수이다. Edge는 한 변수가 다른 변수의 원인이 됨을 나타낸다. 이러한 그래프 모델 언어는 인과관계에 대한 생각을 효과적으로 표현할 수 있도록 한다.

 

위 그림에서, unwatched_var_1과 unwatched_var_2를 하나의 노드로 묶어서 표현하는 것도 가능하며, Rand 노드를 생략하여 표현할 수도 있다.

g_cross_sell = gr.Digraph(graph_attr={'rankdir':'LR'})

g_cross_sell.edge('U','X')
g_cross_sell.edge('U','Result')

g_cross_sell.edge('Treatment','Result')
g_cross_sell.edge('X','Result')

g_cross_sell

 

이처럼 그래프 인과모델은 인과관계를 시각적으로 이해할 수 있도록 하는 좋은 도구 중 하나이다. 이러한 그래프에서는 어떻게 변수를 다루는지에 따라 연관성의 흐름을 막거나 활성화할 수 있다. 이를 위한 그래프 구조 세 가지와 예시를 살펴보도록 하자.

 

그래프 구조

사슬 구조

첫 번째 구조는 가장 기본적인 그래프 구조인 사슬(chain) 구조를 알아보도록 하겠다. 처치 노드 $T$가 중간 노드 $M$의 원인이 되고, 중간 노드 $M$이 결과 노드 $Y$의 원인이 되는 상황에서, 중간 노드 $M$은 $T$와 $Y$ 사이를 매개하는 역할을 하며 이를 매개자(mediator)라고 한다.

 

 

이 그래프 구조에서 인과관계는 화살표 방향으로만 흐르지만 연관관계는 양방향으로 흐른다. 즉, $T$는 $M$의 원인이 되고 $M$은 $Y$의 원인이 되는 단방향 흐름을 가지지만, $Y$는 $M$, 그리고 $T$와도 연관관계를 가진다. 이러한 경우 '$T$는 $Y$와 독립이 아니다'라고 말하며 수식적 표기로는 다음과 같이 나타낸다.

 

$$T \not\perp Y$$

 

여기서 매개자 $M$을 고정하여 $M$의 영향을 통제하고 다른 변수들 간의 관계를 더 명확하게 이해할 수 있다. 이러한 과정을 '조건부로 설정'이라고 하며 이 경우 종속성(dependence)이 차단되어 $T$와 $Y$가 독립이 된다.

 

$$T \perp Y | M$$

 

분기 구조

두 번째 구조는 분기(fork) 구조이다. 이 구조의 특징은 하나의 원인이 두 개의 변수에 영향을 주는 공통원인(common cause)이 존재한다는 점이다.

 

 

위 그림에서 $X$는 $Y$와 $T$에 각각 영향을 주지만 $Y$와 $T$는 서로 영향을 주고받지 않기 때문에(인과관계가 아니기 때문에) 둘 사이 화살표가 존재하지 않는다. 하지만 연관성이 화살표 반대 방향으로 흐르므로 둘은 함께 움직이는 상관관계를 가질 수 있다. 인과추론에서는 이처럼 처치와 결과 사이 공통원인이 존재할 때 이를 교란 변수(confounder)라고 부른다.

 

이처럼, 일반적으로 분기 구조에서 공통원인을 공유하는 두 변수 $Y$와 $T$는 서로 종속이지만, 교란 변수가 고정되어 조건부로 설정되면 둘은 독립이 된다.

 

$$Y \perp T$$
$$Y \not\perp T | X$$

 

충돌부 구조

마지막으로 충돌부(collider) 구조를 살펴보도록 하자. 충돌부 구조는 두 노드가 하나의 자식(child)을 공유하지만 둘 사이 직접적인 관계가 없는 구조로, 두 변수가 공통의 효과를 공유하는 경우이다. 이 두 개의 화살표가 충돌하는 부분을 충돌부라고 한다.

 

 

일반적으로 충돌부 구조에서 두 부모는 서로 독립이지만 공통 효과를 조건부로 두면 연관 경로가 열리면서 종속이 된다. 이는 한 가지 원인이 이미 효과를 설명하므로 다른 원인의 가능성이 더 낮아지기 때문이다. 이를 다른 요인에 의해 설명되는(explaining away) 현상이라고 한다.

 

$$Y\perp T$$
$$Y\not\perp T | X$$

 

여기서 재밌는 점은, 충돌부에 대한 조건부 대신, 충돌부의 효과에 조건부를 두어도 동일한 종속 경로(dependence path)를 열 수 있고 두 충돌부 원인을 서로 종속으로 만들 수 있다는 점이다.

 

 

종속성 흐름

이처럼 인과 그래프모델에는 다양한 구조가 존재하며, 각 구조별, 조건부별로 종속성이 흐르는지를 기억하는 것은 중요하다. 기본적으로는 다음과 같은 필요충분조건에 따라 차단될 수 있다

1. 조건으로 주어진 비충돌부 구조가 포함
2. 조건부로 주어지지 않고 자식이 없는 충돌부가 포함

이러한 규칙을 잘 이해하고 적용해 보는 연습이 중요하다. 그리고, 다음 게시글에서는 이러한 종속성을 파이썬으로 쿼리 하는 방법에 대해서 알아보도록 하자.